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1、大家熟知，正四面体的表面展开图是正三角形，一般情况下，四面体表面展开图是不规则的多边形。

2、当四面体三组对棱分别相等时，四面体的表面展开图是锐角三角形。

3、 那么四面体的表面展开图是四边形的充要条件是: 定理 四面体的表面展开图是四边形的充要条件是任意两个顶点上的三面角之和为180°。

4、 证明 必要性:若四面体S-DEF的表面展开图为四边形ABCD， 因为A，E，B三点共线，B，F，C三点共线， ∠BFE+∠EFD+∠DFC=180°， ∠BEF+∠FED+∠DEA=180°， 又ΔSDE≌ΔADE，ΔSEF≌BEF，ΔSFD≌ΔDFD， 所以以E,F为顶点的三面角之和均为180°. 充分性:若四面体S-DEF有两个顶点的三面角之和均为180°， 不妨设为E,F顶点，沿棱SD,SE,SF剖开，将其表面展在底面ΔDEF所在的平面内，因为 ∠DES+∠SEF+∠DEF=180°， ∠DFS+∠SFE+∠DFE=180°， 所以A,E,B共线;B,F,C共线， 即DABC为四边形。

5、 综上，定理得证。

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